Metodi perturbativi e moti caotici

Quello che oggi sappiamo della dinamica di molti sistemi differenziali è venuto a stabilirsi attraverso indagini che riguardano oscillazioni e, in particolare, il comportamento di oscillatori accoppiati. La prima parte di questo libro riguarda metodi perturbativi usati per ottenere soluzioni approssimate di sistemi differenziali non risolvibili analiticamente. Il primo importante sviluppo è dovuto a Poincaré (1892). Poincarè studiava il problema dei tre corpi, un problema classico della meccanica celeste, che in effetti è un problema di oscillatori accoppiati. Quello che lo interessava era la stabilità a lungo termine dei moti planetari e, per questi studi, usò una descrizione hamiltoniana di questi sistemi. Quello che trovò era che i metodi perturbativi usati erano utili per studiare la stabilità a breve termine fornendo soluzioni approssimate e regolari per i moti planetari ma, tuttavia, le serie corrispondenti non convergevano. La conseguenza era che, da sistemi differenziali apparentemente deterministici, ci si potevano aspettare conseguenze imprevedibili fino a comportamenti caotici. Con l'avvento dei calcolatori, come discusso nella seconda parte del libro, si trovò che in effetti la maggior parte dei sistemi differenziali mostra nel lungo termine comportamenti caotici e questi hanno luogo anche nel caso di sistemi discreti. Nella seconda parte del libro si illustrano alcuni di questi comportamenti e la loro relazione con le soluzioni regolari ottenute dai metodi perturbativi.